Застосування Maple до розв’язування нелінійних рівнянь чисельними методами

Анотація

В роботі досліджено чисельні методи розв’язування нелінійних рівнянь, що мають широке застосування у математиці, фізиці та інженерії. Розглянуто класичні алгоритми – метод половинного поділу, метод хорд, метод Ньютона та метод простої ітерації. Для кожного методу наведено теоретичні основи, умови збіжності, переваги й недоліки. Особливу увагу приділено реалізації алгоритмів у системі Maple, що дозволяє поєднувати теоретичний аналіз із практичною демонстрацією. Показано приклади знаходження двох коренів конкретного рівняння як за допомогою власних програмних циклів, так і через вбудовані команди Maple (fsolve, Bisection, Secant, Newton). Здійснено детальний аналіз збіжності розглянутих чисельних методів та досліджено вплив вибору початкових наближень на ефективність обчислень. Встановлено, що метод Ньютона забезпечує найшвидшу збіжність за умови коректного вибору стартової точки, тоді як метод хорд демонструє збалансоване поєднання простоти реалізації та прийнятної швидкості. Метод дихотомії гарантує збіжність для будь-якої неперервної функції зі зміною знаку на кінцях інтервалу, що робить його універсальним, хоча й повільнішим. Метод простої ітерації потребує спеціального вибору функції, для правого та лівого коренів запропоновано різні варіанти, що забезпечують збіжність. Отримані результати підтверджують ефективність використання Maple як інструменту для навчання та наукових досліджень. У висновках узагальнено сильні та слабкі сторони методів, а також окреслено перспективи подальших досліджень: розширення аналізу на системи нелінійних рівнянь, дослідження умов збіжності для різних класів функцій та використання Maple для візуалізації процесів.