Екстремальна задача для оператора з двома ядрами у просторах узагальнених функцій

Анотація

У статті розглядається екстремальна задача для оператора з двома ядрами у просторах узагальнених функцій. Наголошується, що за відсутності "регулярної" асимптотики модулів нулів (навіть якщо всі вони лежать на одному промені) поведінку функції передбачити важко. У ситуації, коли на нулі досліджуваного підкласу цілих функцій задані деякі обмеження, але будь-який "правильний" розподіл нулів відсутній, можна вирішувати тільки екстремальні задачі тих чи інших асимптотичних характеристик функцій заданого класу. Підкреслено, що актуальність розгляду узагальнених функцій зумовлений численними їх застосуваннями у таких важливих розділах комплексного аналізу, як проблеми повноти експонентних систем, теорія інтерполяції, теорія аналітичного продовження. Представлено екстремальну задачу знаходження функції для оператора з двома ядрами у просторах узагальнених функцій типу Соболева-Слободецького за відповідними умовами. Наголошується, що все інше, окрім поданого, у задачі задано. Розв’язок задачі подано у квадратурах. Розв’язок записано через проекційні оператори та оператори перетворення Фур’є.

Позначивши вираз під модулем та врахувавши умови розв’язності рівняння у згортках з двома ядрами, сформовано дві задачі: екстремальну та задачу визначення функції за відповідними умовами. Де певним чином позначено множину функцій, для яких рівняння з двома ядрами є розв’язним з урахуванням додаткових умов задачі 2.

В роботі доведено, що задача 1 має єдиний розв’язок, цей розв’язок знайдено аналітично.  Задача 2 є розв’язною. В образах Фур’є вона зводиться до задачі Рімана в узагальнених функціях. Розв’язок суттєво залежить від величини індексу рівняння з двома ядрами. Якщо індекс менше або дорівнює нулю, то екстремальна задача має єдиний розв’язок. Якщо індекс більше нуля, то розв’язок задачі Рімана не єдиний і залежить від довільних комплексних сталих. Цей розв’язок повинен задовольняти й додатковим умовам задачі 2. Отримано систему рівнянь з невідомими. Доведено, що якщо ранг цієї системи менше індексу, то загальний розв’язок екстремальної задачі залежить від результату віднімання від індексу рангу довільних комплексних сталих